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Quecksilber
FSI EEI
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Subject: Musterlösung Klausur WS2010
Hier ist der Anfang einer Musterlösung, der Rest wird im Laufe des Sonntags vernünftig gesetzt und hochgeladen. Bitte vergleichen.

-100 / (z+8i)^2 = 1

z1= 2i, z2=-18i
Menge: Alles, was außerhalb des Kreises um (1,0) mit Radius 4 sowie auf der Kreislinie liegt
nur z2 in Menge

2) a)
offensichtlich ja

\lambda_1 sin(x) + \lambda_2 cos(x)+ \lambda_3 1 != 0
Werte einsetzen: 0, \pi/2, -\pi/2  => alle \lambda_i = 0, keine andere Lösung => linear unabhängig

2)b) dim=Rang=3

Basis: Vektoren 1,2,4 da offensichtlich l.u., da Koordinaten 1,2,3 jeweils nur bei Vektor 1,2,4 ungleich 0

a als Linearkombination von Vektoren 1,2,4 darstellen => 4. Zeile: \lambda_2=0 => 2. Zeile: a=0

3)a)
det A = -t(t-1)
nicht lösbar für det=0, also für t=0, t=-1

3b) Gauss-Algorithmus, aber aufpassen: Wenn an einer Stelle für bestimmte t durch 0 dividiert werden würde: Fallunterscheidung

ToDo

c) Basis Kern: [-1, 0, 1, 0]


Bilder der vier Einheitsvektoren ausrechnen (A*e_x) => 2 sind gleich, also sind 3 verschiedene daraus die Basis des Bildraums {[0,1,0,0], [-1,0,2,-2], [-1,0,1,-1]}

4: D ist Diagonalmatrix mit Eigenwerten \lambda_{1,2,3} in der Diagonale, T ist Matrix linear unabhängiger Eigenvektoren zum jeweiligen Eigenwert \lambda_i

zum Beispiel:
D =
[ -2 0 0
0 2 0
0 0 2]

T = [ 1 0 1
0 1 2
1 1 1]

(es können auch andere Matritzen rauskommen, im Zweifelsfall: Probe mit TDT^-1 = A machen)

A^n = (T D T^-1)^n = (T D T^-1) (T D T^-1) (T D T^-1) ... insgesamt n mal
= T D (T^-1 T) D (T^-1 T) D (T^-1 T) ... T^-1
= T D^n T^-1
D^n = 2^n*
[ (-1)^n 0 0
0 1 0
0 0 1 ]

n gerade: D = I (Einheitsmatrix) => 2^(-n) A^n = T T^-1 = I
n ungerade: A = T *
[ -1 0 0
0 1 0
0 0 1]
    * T^-1


5)a)
n "mit Gewalt" ausklammern, erweitern mit (Wurzel(...) + n) um Wurzel wegzukriegen

Grenzwert = (a+b)/2

b) = n_te_Wurzel(7^n) * n_te_wurzel((3/7)^n + (5/7)^n + 1^n) = 7*n_te_wurzel((3/7)^n + (5/7)^n + 1^n)
da:
n_te_Wurzel(1^n) < n_te_wurzel((3/7)^n + (5/7)^n + 1^n) < n_te_Wurzel(3* 1^n)
also 1 < n_te_wurzel((3/7)^n + (5/7)^n + 1^n) < n_te_Wurzel(3)
Grenzwerte davon: 1 < unbekannter limes < 1
also: Grenzwert von n_te_wurzel((3/7)^n + (5/7)^n + 1^n) = 1
also: Gesuchter Grenzwert = 7

Viele Lösungswege zu diesem Grenzwert sind falsch, aufpassen! Dieser nicht...


Viel Spaß
Philipp (und Max)
FanFan
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Quote by Quecksilber:
2) a)
offensichtlich ja

\lambda_1 sin(x) + \lambda_2 cos(x)+ \lambda_3 1 != 0
Werte einsetzen: 0, \pi/2, -\pi/2  => alle \lambda_i = 0, keine andere Lösung => linear unabhängig

Geht da nicht auch:
lambda_1 = -sin(x);
lambda_2 = -cos(x);
lambda_3 = 1;

Dann würde da stehen:

-sin²(x) - cos²(x) + 1*1 = 0;

--> -[sin²(x) + cos²(x)] + 1 = 0;

und sin²(x) + cos²(x) = 1 --> -1 + 1 = 0

Und somit wären sie linearabhängig, oder?


nächste Frage:

Wie rechnet man die 3c)?

Schon mal viel Glück für morgen
This post was edited on 2011-10-09, 17:44 by FanFan.
Max.
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2a) Bei der Linearkombination sind lambda_i Konstanten, so wie bei den Vektoren. Es geht auf Deutsch um die Frage, ob man ein Element einer Menge durch eine gewichtete Summe aus den anderen Elementen erzeugen kann, so dass z.B. 5 f(x) + 4 g(x) = h(x) für jedes(!) x gilt.
3c) Kern ist "alle Vektoren x, für die A*x=Nullvektor". -> LGS lösen, Gauß und so. Bild "ist alle Vektoren y, für die A*x=y, x beliebiger Vektor" -> Ich weiß auch nicht so genau, am Besten Bilder der Einheitsvektoren ausrechnen und dann schauen was für einen Raum die Aufspannen.
Zur Vereinfachung: dim(Kern)+dim(Bild)=dim(Vektorraum), also für R^n=n. Dann weißt du dim(Bild)=n-dim(Kern), und musst nur noch m=dim(Bild) unabängige Vektoren aus den Einheitsvektorbildern heraussuchen. Geht meist mit "ein bisschen schauen", sich die best aussehendsten rauspicken, und zeigen, dass die l.u. sind, falls man das nicht sofort sieht. Wenn nur "geben Sie an" gefragt ist, kann man das Zeigen weglassen, wenn man es selber sieht, ob das l.u. ist.

unfertiger Zwischenstand ist online als math1_2011_04_loesung_ist_gerade_in_arbeit_v0.pdf - Ich mach jetzt die 4 fertig und dann kriegst du die 3c.
dom
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schafft ihr die komplette Lösung heute noch?
Max.
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glaube schon, schreib wenn du eine Stelle besonders dringend brauchst
Max.
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3c ist fertig
edit: 1 und 4 auch, ist als ..._v2 hochgeladen
dom
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Bei Aufgabe 1 fehlt die Angabe der Lösung als Polardarstellung, sprich -18i. Das sollte dann so aussehen: z2' = 18 * e ^ i * 3/2 * pi


//edit: Das Wurzel war falsch, es sollte entweder Wurzel 18^2 heißen oder eben nur 18 ;-)
This post was edited on 2011-10-10, 00:31 by dom.
Max.
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Version 3 ist jetzt online, sollte vollständig sein. edit: Aufgabe 5 kommt noch.
Ich habe die Polardarstellung mit hinzugefügt. z2 ist meiner Meinung nach 18* e^sowieso, nicht Wurzel(18).
Max.
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5 ist fertig. Jetzt sollte es alles sein. Ist als v4 hochgeladen.
This post was edited on 2011-10-09, 21:33 by Max..
FanFan
FSI EEI & FSI Mechatronik
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Wunderbarsten Dank Herr Gaukler & Herr Hörauf ;-)
Und natürlich auch an dom
This post was edited on 2011-10-10, 10:11 by FanFan.
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